北理工在穩態型里奇孤立子的分類研究方面取得研究成果
發布日期：2020-12-15 供稿：數學與統計學院
編輯：陶思遠 審核：田玉斌 閱讀次數：
日前，北京理工大學數學與統計學院鄧宇星教授在國際頂級學術期刊《Journal of the European Mathematical Society》發表題為“Higher dimensional steady Ricci solitons with linear curvature decay”的研究論文。該論文證明了當維數不小于4時，數量曲率線性衰減并且具有非負曲率算子的體積非塌縮穩態型里奇孤立子必然旋轉對稱。也就是說，這類孤立子或者同構于歐式空間，或者同構于Bryant孤立子。當維數為4時，曲率算子非負條件可以減弱成截面曲率非負。
2002年至2003年，Perelman (Fields獎得主)引入里奇流解決了具有一百多年歷史的三維 Poincare 猜想以及更加廣泛的幾何化猜想。在他的證明中，奇性分析起著至關重要的作用。如何推廣Perelman的工作以研究四維流形的幾何與拓撲成為大家關心的問題。然而，四維里奇流的奇點更加復雜。Freedman（Fields獎得主）和Bennett Chow等數學家猜測四維里奇流的奇點分類可歸結為穩態型孤立子（steady Ricci soliton）和收縮型里奇孤立子（shrinking Ricci soliton）的分類。關于穩態型里奇孤立子，Perelman在他解決三維 Poincare 猜想的論文提出過一個有名的猜測。這個猜測是說，三維非平凡且體積非塌縮的穩態型里奇孤立子必然旋轉對稱，即必然是Bryant孤立子。2012年，Simon Brendle（Bocher獎得主）證明了此猜測。對于更高維數的穩態型里奇孤立子，Brendle在漸近柱狀結構條件下證明了具有正截面曲率的孤立子的旋轉對稱性。Brendle所引入的漸近柱狀條件由數量曲率線性衰減和降維條件兩部分組成。降維假設的定義比較復雜。當維數為3時，體積非塌縮條件可以推出曲率線性衰減和降維條件。但是，當維數為4時，在正曲率條件下，體積非塌縮條件能否推出曲率線性衰減和降維條件仍然是未知的。里奇流著名專家Hamilton（Veblen獎得主）猜測存在四維體積非塌縮的具有正曲率算子的穩態型里奇孤立子，且該孤立子沒有曲率衰減。也就是說，他認為曲率衰減條件不能去掉。
鄧宇星與北京大學朱小華教授（陳省身數學獎得主）證明了在維數大于或等于4時，數量曲率線性衰減并且具有非負曲率算子的體積非塌縮穩態型里奇孤立子必然旋轉對稱。當維數為4時，曲率算子非負條件可以減弱成截面曲率非負。由于里奇流奇點分析中出現的孤立子都自動滿足體積非塌縮條件，大家更關心滿足體積非塌縮條件的穩態型里奇孤立子。對于體積非塌縮這類大家最關心的孤立子，鄧宇星等人的分類結果去掉了Brendle定理中的降維假設，本質地改進了Brendle的工作。《Journal of the European Mathematical Society》期刊的審稿人一致評價該結果為目前四維和四維以上穩態型里奇孤立子的最好分類結果。
這項研究工作是由鄧宇星教授與北京大學朱小華教授合作完成，鄧宇星教授為第一作者，本項工作得到國家自然科學基金的資助。
論文鏈接：https://www.ems-ph.org/journals/show_abstract.php?issn="1435-9855&vol=22&iss=12&rank=7&p403=1
附附研究團隊及個人簡介：
鄧宇星，教授，北理工數學與統計學院幾何團隊主要成員。本科畢業于北京師范大學、博士畢業于北京大學。長期從事微分幾何特別是里奇流的研究工作，于2020年獲得國家優秀青年基金（項目號12022101），曾主持國家自然科學基金面上項目等兩項。以第一作者在Journal of the European Mathematical Society 、Mathematische Annalen 、Transactions of the American Mathematical Society、International Mathematics Research Notices、Mathematische Zeitschrift等綜合期刊發表SCI論文八篇。
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